I frattali

2 novembre
Definizione di Frattali:

Benoît Mandelbrot, matematico polacco, francese di adozione, è noto al grande pubblico soprattutto per i suoi lavori sulla geometria frattale.

Nato il 20 novembre 1924 a Varsavia, in Polonia, ha vissuto in Francia per buona parte della sua vita.
Originario da una famiglia con forte tradizione accademica (sua madre era infatti una dottoressa e suo zio Szolem Mandelbrot un famoso matematico), ha dedicato la propria esistenza allo studio della matematica e della geometria.
La famiglia lasciò la Polonia stabilendosi a Parigi per sfuggire il regime nazista. A Parigi venne iniziato alla matematica da uno (appunto Szolem) dei suoi due zii, che contribuirono alla sua educazione e formazione, da una parte scientifica, dall'altra umanistica.
Educato in Francia, ha sviluppato la matematica di Gaston Julia e ha cominciato la rappresentazione grafica di equazioni su computer. Mandelbrot è il fondatore di ciò che oggi viene chiamata geometria frattale e ha dato il proprio nome ad una famiglia di frattali (detti appunto frattali di Mandelbrot) e ad un particolare insieme (detto insieme di Mandelbrot).
Entità geometrica derivante da una costruzione che ripete, in scala sempre minore, la stessa forma iniziale. Le tecniche frattali, formalizzate nel 1975 dal matematico B.Mandelbrot, vengono utilizzate nello studio matematico di sistemi caotici e, nell’ambito della computer grafic, nella generazione automatica di immagini. L’autosomiglianza, ossia la similitudine con una propria parte, caratterizza le figure frattali, i nuovi oggetti di cui si è arricchito il panorama delle figure geometriche negli ultimi trent’anni, grazie allo sviluppo dei calcolatori e alle tecniche della computer graphics.
Popolari per le loro caratteristiche estetiche, il loro studio, da un punto di vista matematico, è sistematizzato da Mandelbrot che ha l’idea originale di iterare la semplice forma ricorsiva X2 + c dando a x e c valori complessi. Se x è un numero complesso qualunque, elevandolo al quadrato r sommando c si ottiene un nuovo numero complesso. Ripetendo per questo numero lo stesso procedimento si ottiene un ulteriore numero, e così via indefinitamente.
Questa semplice operazione di iterazione genera, sullo schermo del computer che la implementa, una figura inquietante, l’insieme di Mandelbrot. Una delle sue proprietà caratteristiche è infatti l’autosomiglianza: se si guarda il contorno della figura, una parte qualunque riproduce in scala la forma dell’insieme. Secondo Mandelbrot, la rivoluzione frattale, annuncia l’avvento di una nuova stagione nella matematica e nella scienza, una nuova geometria della natura, che consente di descrivere i più disparati fenomeni dal comportamento irregolare e caotico, dalla turbolenza alla distribuzione della materia nell’universo, e traduce in termini moderni le celebri parole di Galileo.
Galileo nel Saggiatore scriveva: le figure geometriche, piane o solide, il triangolo, il quadrato, il cerchio, il cubo, il tetraedro sono gli elementi essenziali del mondo, le strutture fondanti della realtà; infatti il grande libro della natura è scritto in lingua matematica, e i suoi caratteri sono triangoli, cerchi, e altre figure geometriche. (E’ questa di Galileo idea antica, risalente a Pitagora, a Platone che nel Timeo associa la Terra, il fuoco, l’acqua, l’aria e l’etere al tetraedro, all’ottaedro, all’icosaedro, al cubo e al dodecaedro. Naturalmente il sistema del mondo non ha nulla a che fare con i solidi platonici, tuttavia i solidi platonici cioè poliedri le cui facce sono poligoni regolari identici tra loro, e i cui vertici sono angoli eguali tra loro, rappresentano le superfici più semplici da studiare ed hanno catturato l’interesse degli uomini sin dai tempi più remoti).
In realtà, la generazione e le proprietà matematiche di figure di questo tipo erano in gran parte già note da tempo. La grafica al calcolatore ha solo consentito di tradurre in immagini quel grande arsenale di funzioni e insiemi strani e patologici scoperti dai matematici tra ottocento e novecento, rivelando le fascinose figure dai contorni frastagliati ed irregolari, che hanno fatto parlare di bellezza dei frattali.

Curiosità:
In questi anni, molti scienziati e matematici hanno iniziato a considerare la possibilità di prevedere l’andamento dei mercati in borsa. In questo ambito ha trovato un’importante spazio l’applicazione della teoria dei frattali.
Frattale è il termine coniato da Mandelbrot derivante dal latino fractus, e intendendo un oggetto, più propriamente una figura geometrica, che mostra la caratteristica di autosomiglianza, proprietà di un insieme che, se osservato nei dettagli a scala sempre più piccola, rimanesimile all’insieme di partenza. Mandelbrot si accorse che molti oggetti comuni, coste, i cristalli di neve, le nuvole, gli alberi o le catene montuose, si riconducono naturalmente a queste particolari costruzioni geometriche. Nasceva in questo modo una nuova branca della matematica chiamata geometria frattale. Mandelbrot studiando il fenomeno capì che il grado di irregolarità rimane costate su scale diverse. Lo stesso fenomeno viene riscontrato sui mercati finanziari, dove è possibile osservare comportamenti simili sui grafici giornalieri di 60 minuti o 5 minuti. Gli scienziati e i matematici hanno appurato che nei mercati esiste la tendenza a persistere in movimenti al rialzo o al ribasso per periodi prolungati, confermando così l’esistenza dei trend già esaminati dall’analisi tecnica. La scoperta e lo studio della natura frattale dei mercati finanziari dimostrano in sostanza che le distribuzioni dei rendimenti delle attività finanziarie sono delle distribuzioni frattali che godono di alcune importanti proprietà tra cui l’invarianza rispetto alla scala temporale e l’esistenza di una memoria a lungo termine che lega i dati della serie storica.