la geometria elementare

14 ottobre
La geometria Elementare
Gli Elementi di Euclide costituiscono la base dell’insegnamento scolastico della geometria. La presentazione moderna si fonda essenzialmente sulla rielaborazione degli Elementi di compiuta all’inizio del XIX secolo da Legendre nella sua Géometrie, essa non differisce di molto da quella originale euclidea. La presentazione ha di solito carattere assiomatico. Negli Elementi Euclide introduce innanzitutto 23 definizioni; nelle trattazioni moderne le nozioni di retta, punto e piano non vengono definite esplicitamente, ma riguardate come definite implicitamente dagli assiomi. Le proposizioni primitive di Euclide sono 10, 5postulati e 5 nozioni comuni. Il più celebre è il V postulato o postulato delle parallele che recita: se una retta incontra due rette date e forma gli angoli interni da uno stesso lato di due angoli retti, le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontreranno dal lato in cui gli angoli sono minori di due angoli retti.
Da esso si deduce che per un punto fuori dalla retta passa una ed una sola retta parallela alla retta data. Si deve ricordare che due rette di uno stesso piano sono dette parallele se non hanno punti in comune. Pereuclide i postulati descrivevano verità geometriche talmente evidenti da non aver bisogno di dimostrazioni. L’evidenza del V postulato fu messa in dubbio fin dall’antichità e vennero messi in opera numerosissimi tentativi per dimostrarlo a partire dagli altri o per sostituirlo con un altro dotato di maggiore evidenza. Essi finirono per dare origine alle geometrie non Euclidee.
Hilbert invece usa 20 assiomi divisi in cinque gruppi (assiomi di collegamento, di ordinamento, d congruenza, delle parallele e di continuità).
Nella sua impostazione gli assiomi sono proposizioni scelte arbitrariamente e quindi non dotate di particolare evidenza.

La geometria PIANA
La geometria elementare piana studia le figure nel piano intuitivo considerato costituito da punti al finito (piano ordinario). La trattazione tipica della geometria inizia introducendo le nozioni fondamentali di punto, retta e piano, segmento, semiretta, semipiano, angolo come insieme di punti, angolo come insieme di semirette o di rette. Si introducono poi considerazioni elementari sull’uguaglianza e sulla somma fra segmenti e fra angoli.
Le figure considerate in geometria elementare sono anch’esse ordinarie (punti e rette), come il piano stesso che ne è il supporto.
La figura piana più semplice è il triangolo, costituito da tre segmenti o lati che uniscono tra loro tre punti distinti non allineati. Vengono poi le altre figure elementari come il cerchio e la circonferenza, poligoni e parallelogrammi, ed allora è possibile parlare della base, dell’altezza, apotema, lati, arco, corda, settore. E’ importante conoscere le regole per il calcolo dell’area o estensione superficiale. Giocano un ruolo importante le figure poligonali, ovvero le figure che si possono decomporre in poligoni.
La figura più importante in geometria piana è il cerchio, definito come luogo dei punti contenuti all’interno di una circonferenza di centro C dato.

La GEOMETRIA EUCLIDEA .
In senso tecnico moderno è quella parte della geometria che studia le proprietà del piano o dello spazio che sono invarianti rispetto al gruppo dei movimenti.
Fra i movimenti vi sono le traslazioni secondo un vettore dato, le rotazioni, e le simmetrie. Gli spazi in cui vale la geometria euclidea sono detti spazi euclidei . Il tipico spazio euclideo di dimensione n è l’insieme n costituito da tutte le n-ple(x1,x2,…,xn)di numeri reali in cui la distanza fra il punto precedente e il punto (y1,y2,…yn) è definita mediante la formula √(x1-y1)2 + … + …(xn-yn)2